"La vraie méthode de prévision du futur des mathématiques est d'étudier leur histoire et leur état actuel" - Henri Poincaré.

Les mathématiques sont un édifice à multiples facettes. Elles se distinguent par leur extrême rigueur, leur subtilité et leur élégance. De nombreux types de représentations mathématiques, de propositions logiques, de formes syntaxiques et de nouvelles opérations servent de base aux fondations de toutes les autres sciences.

Avec l'avènement des ordinateurs, une nouvelle direction dans le développement mathématiques et ses applications a commencé. Des problèmes mathématiques posés depuis longtemps (comme le problème des quatre couleurs, la classification des groupes simples finis) ont été résolus par l'utilisation d'ordinateurs avec une facilité étonnante. Dans le champ des sciences physiques, aussi, beaucoup de problèmes difficiles, crus jusqu'à présent être à peu près intraitables, ont trouvé des solutions grâce à des programmes informatiques nouvellement développés.

Ces capacités n'ont pas été obtenues en un jour. Le voyage a commencé il y a bien bien longtemps dans un pays qui était Bharat, l'Inde. Lorsque le monde était ignorant du formalisme abstrait des mathématiques, nous anciens mathématiciens commençaient et accomplissaient de véritables progrès. Un exemple évident de l'influence des mathématiques Indiennes est la représentation positionnelle des nombres. Le concept même des chiffres et le 'zéro' prirent naissance en Inde se répandirent par la suite dans le monde entier. Le système décimal était largement utilisé dans l'Inde ancienne. Les génies mathématiques indiens comprennent Aryabhatta 1 (v. 476 ap. JC), Varahamihira (505), Brahmagupta (598), Bhaskaracharya (600) et beaucoup d'autres. Quoique les recherches sur les mathématiques indiennes soient loin d'être complètes, il est déjà reconnu que les fondations du calcul différentiel et du calcul trigonométrique furent posées par les mathématiciens indiens bien longtemps avant Newton et Leibniz. Par exemple, les expansions de Taylor (qui utilisent les intégrales) pour sinq, cosq, les séries grégoriennes, etc. peuvent être trouvées dans les travaux de Madhava (v. 1340-1425). Puis nous avons l'équation de Brahmagupta-Bhaskara : Dx²± c = y², où D>0. Les constantes D et c sont des entiers et D ¹ un entier carré. Le problème est de trouver des solutions entières positives (x,y) pour l'équation ci-dessus. Les solutions ont été trouvées par la méthode Chakravala imaginée par Bhaskara II. Dans les temps modernes, ce problème a été solutionné par ce qui est connu comme l'analyse Diophantine. Bhaskara II ( v. 1150) solutionna l'équation 67x²+1=y². Il est en vérité remarquable que précisément la même équation ait été posée de manière indépendante par Fermat 500 ans plus tard dans une lettre à Frenicle de février 1657, et Euler la solutionna en 1732 ! Peut-il y avoir une coïncidence plus saisissante que celle-ci ?

Les anciens textes indiens discutent les limites de formes indéterminées [0/0], de séries infinies représentant p et même encore plus profondément du concept de la vitesse de convergence. Les méthodes d'interpolation, dont on crédite habituellement Newton-Sterling, ont été imaginées il y a bien longtemps par Brahmagupta, Govindaswami et al (v. 800). Quant au calcul par procédé différentiel, utilisé même aujourd'hui, le mathématicien français D'Alembert remarquait : "Il y a ici une méthode que les Indiens possédaient et qui n'est trouvée nulle part parmi les Grecs ou les Arabes." Au sujet du concept moderne de la mesure en radians des angles, le grand mathématicien allemand Otto Neugebauer fit la remarque suivante : "Les Hindous prirent l'attitude raisonnable suivant laquelle les distances radiales devaient être mesurées dans les mêmes unités que la longueur de la circonférence, approche qui aurait menée au concept moderne des radians, s'ils n'avaient pas retenu la division sexagésimale babylonienne du cercle en 360 parties."

Beaucoup de mathématiciens reconnaissent que le théorème habituellement attribué à Pythagore était en réalité connu et utilisé par les anciens géomètres de l'Inde.

Dans tout autre pays, les découvreurs originaux tels que ceux que nous avons eus, auraient été rétablis à leur place légitime depuis bien longtemps. Il est temps que nous le fassions. Un el pas constituerait non seulement un acte de justice bien tardif, mais constituerait aussi un grand pas en restaurait la confiance en soi et le respect de soi que nous avons perdu sous la domination étrangère.

Un mathématicien n'a pas toujours besoin de formuler des théorèmes et des propositions avec un oeil sur leur applications pratiques, s'il y en a. La valeur de tout formulation nouvelle, généralisée, repose sur le degré d'enrichissement intellectuel qu'elle accomplit. Les applications de la vie réelle, s'il y en a, peuvent suivre des siècles plus tard comme cela arriva avec la géométrie de Riemann - pour ne citer qu'un exemple. Cela enrichirait certainement notre procédé de pensée si nous pouvions découvrir dans notre ancienne littérature les germes d'autres preuves de théorèmes ou d'indications modernes sur de possibles solutions de problèmes irrésolus. Inutile de le dire, beaucoup de recherches sont encore à faire avec ces lignes.

Quoiqu'il en soit, en ce qui concerne les applications modernes, le Professeur D.K. Subramanian de l'Institut Indien des Sciences de Bangalore, a le commentaire suivant : "Nos développements traditionnels en mathématiques ont toujours eu une approche intégrée, une approche 'tous systèmes'. Les structures du langage, les propositions logiques, les nombres et la géométrie ont été intégrés et incorporés dans notre vie quotidienne. La science de la logique, bien développée, est une partie de nos opérations quotidiennes. On trouve encore la grammaire dans un état formel avancé avec des principes et des représentations qui sont applicables dans l'aire naturelle d'aujourd'hui des systèmes informatiques basés sur la connaissance." La dernière phrase se réfère à l'application de Sabdabodha à l'intelligence artificielle.

Pour conclure, en ces mots : "Même si nous sommes familiers avec la représentation positionnelle, la plupart d'entre nous est encore ignorante du vaste entrepôt de connaissance développé en Inde au cours des siècles, des systèmes formels de mathématiques et de leur intérêt pour nos activités d'aujourd'hui. Les Indiens ont pris une bonne avance dans le domaine de la théorie des nombres. Le problème des calculs faisant intervenir de très grands nombres est encore sérieux pour beaucoup de savants dans le domaine de la mousson et de cristallographes. Le développement d'ordinateurs et de superordinateurs a pour but de réduire la tranche d'erreurs. Mais notre ancienne littérature a des algorithmes pour manipuler des opérations avec de très grands nombres. Il est souhaitable de démystifier ces techniques et de les faire valoir de manière formelle acceptable et compréhensible pour les scientifiques d'aujourd'hui afin que nous puissions aller de l'avant dans plus de recherche dans ces domaines qui conduisent à la construction d'ordinateurs précis et plus rapides. Il est impératif de révéler l'existence de preuves tangibles de l'existence de disciplines comme une théorie avancée des nombres, les systèmes logiques, la technique d'intelligence, un large domaine de géométrie etc.. d'une manière scientifique de telle manière que nos curricula puissent refléter les contributions positives de nos ancêtres. Une précision analytique dans la compréhension de notre littérature traditionnelle, une juste interprétation et une absorption sélective sont essentielles."